2019 ネーターの定理100年
2018年に行われた「ネーターの定理100年」セミナーの内容を論文の形にまとめて2019年に発表したものを、いまさら読んでみた。知っているエピソード、知らなかったエピソードが色々記されており面白かった。
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彼(*1)とダフィット・ヒルベルトがアインシュタインの一般相対性理論におけるエネルギー保存の概念をどのように理解したかを説明する論文(*2)を発表していた。彼らは、一般相対性理論の中では、通常はエネルギー保存が制約であるものが恒等式として現れるという観察に頭を悩ませていた。それでは、それはどのようにして何かを制約できるのだろうか？これが彼がエミー・ネーターに助けを求めた問題だった。
*1 クラインの壺で有名なクライン。因みにクラインの壺は誤訳だった･･･
フェリックス・クラインは、クライン面（Fläche）の概念を提唱したことで、一般の科学文化においてよく知られている。この概念は、クラインの壺（Flasche）と誤訳されることが多い。
*2 「Über die Differentialgesetze für die Erhaltung von Impuls und Energie in der Einsteinschen Gravitationstheorie」
(アインシュタインの重力理論における運動量とエネルギー保存の微分法則について)
1918年7月26日、フェリックス・クラインはゲッティンゲン王立科学アカデミーで講演を行った。
当時、女性は王立アカデミーの会合で自ら発言する資格はなかったため、ネーターの変わりに講演を行ったのがクラインだった。
1903年、彼女は大学入学資格試験に合格したが、それでもエアランゲン大学への入学は認められなかった。ゲッティンゲン大学はもう少し寛容だった。彼女はそこで１学期を過ごし、カール・シュヴァルツシルト、ヘルマン・ミンコフスキー、フェリックス・クライン、ダフィット・ヒルベルトの講義を聴講した。大学１学期目にそのような講義を聴講すれば、改心するか、歴史に名を残すかのどちらかだろう。エミー・ネーターは改心し、歴史に名を残すことになる。１学期後、エアランゲン大学は自らの過ちに気づき、女性の入学を認め始めた。約1000人の学生のうち、正確には2人だけだったが、こうして彼女はエアランゲン大学に数学の学生として入学することができた。
1918年の夏、エミー・ネーターは現在彼女の名を冠する定理を発表し、対称性と保存則の間に深い双方向の関係を確立しました。この洞察の影響は物理学全体に及んでおり、基本的な相互作用に関するあらゆる理論の根底にあり、保存則に単なる有用な経験則を超えた意味を与えています。
定理Ⅰ
積分 I が ρ 個のパラメータを持つ有限連続群 Gρ のもとで不変であるならば、ラグランジアンの式のなかには、発散（全微分）になる ρ 個の線形独立な組合せが存在する。そして逆に、このことは群 Gρ のもとでの I の不変性を意味する
定理Ⅱ
積分 I が、ρ 個の任意の関数とその s 階までの導関数に依存する無限連続群 Gρ∞ のもとで不変であるならば、ラグランジアンの式とその s 階までの導関数のあいだには ρ 個の恒等式が存在する。この場合についても、逆が成り立つ。
これは、私たちの視点からすると、驚くべき発展です。エネルギー保存を考えてみましょう。力学は、しばしばひらめきに満ちた試行錯誤によって段階的に発展してきました。賢い人々は、測定するのに役立つ量、運動の定数となるものについて推測しました。エネルギー保存の法則のような基本的なものでさえ、一種の経験的規則性でした。それはどこから来たのか分かりませんでしたが、有用な構成であることが分かりました。ネーターの定理 I の後、エネルギー保存は、かなりもっともらしいと思われる場所から来ることがわかっています。それは、自然法則は時間に依存しないという考えです。対称性の原理から有用な経験的規則性と思われるものを導き出すことができます。
古典力学における対称性と保存則
対称性 保存則
・空間の並進不変性 ・運動量
・時間の並進不変性 ・エネルギー
・回転不変性 ・角運動量
・ブースト(慣性系)不変性 ・重心定理
電荷保存則はどこから来るのでしょうか？なぜ電荷は保存されるのでしょうか？マックスウェル方程式から導かれると考える人もいるかもしれません。しかし、マックスウェルがファラデーの観測に基づいて方程式を定式化した経緯を振り返ってみると、彼はあらゆる状況下で電荷が保存されるように方程式を調整したのです。非静的な場合におけるアンペールの法則への追加として、変位電流がそこから来ています。つまり、マックスウェル方程式は電荷が保存されるという観測結果を説明するために構築されたのです。したがって、電荷保存則がマックスウェル方程式から導かれると言うだけでは、深い説明とは言えませんが、ほとんどの場合において十分役立ちます。
対称性は相互作用を生み出すのだろうか？ エミー・ネーターの同僚で、ゲッティンゲンを頻繁に訪れ、最終的にそこで職を得たヘルマン・ワイルは、対称性を現代物理学に応用した先駆者の一人である。ワイルは、ネーターの定理が発表された1918年に、興味深いアイデアを思いついた。彼は当時知られていたすべての基本的な相互作用、すなわち電磁気力と重力を統一する理論を構築しようとした。彼は、スケール変換に対して不変な理論を構築することで、対称性の原理からこの理論を導き出せるのではないかと考えた。・・・しかし、この構築は物理理論としては失敗に終わった。それはマクスウェル方程式には繋がらず、重力の面では、アインシュタイン自身が、時計の刻み方は一点から別の点への経路によって決まると反論した。つまり、ワイルの考えは間違っているが、物理学における多くの「間違った」考えと同様に、そこには非常に巧妙な点がある。それは、相互作用が対称性から導き出される可能性があるという考えである。
当時、ワイルの概念と、現在ではそのような構成が常に可能であることを示していると理解されているネーターの第二定理との関連性に気づいた者はいなかった。その理由の一つは、いくつかの重要な要素が欠けていたことにある。量子力学の発明、そしてそれに続く激動の10年間を経て、アインシュタインやフォックらの働きかけもあり、ワイルは波動関数に特定の対称性を課すことで、対称原理から電気力学を導出できることに気づいた。・・・ さらに一歩進めて、第2定理の形式に従い、すべての点において独立に位相の決定条件を課すならば、シュレーディンガー方程式から電磁気学を導出することができる。
後年（1955年）、自分が正しい道を進んでいるとどうやって分かったのかを説明しようとして、ワイルはと書いた。
これはつまり、彼の心の中には、明示的であれ漠然とであれ、ネーターの定理と対称性と保存則の関係についての理解があったということだと私は解釈する。
ネーターの「不変変分問題」は一般相対性理論の分野では大きな話題となったが、それ以外ではすぐにセンセーションを巻き起こしたわけではなかった。
確証はないが、他のインタビューから、彼（ハイゼンベルク）がネーターの論文を読んだことがないという証拠がある。「量子論に深く入り込んでいなかったので、その論文の重要性に気づかなかった」。ハイゼンベルクとその仲間たちは、量子力学の発明と応用など、やるべきことが山ほどあったのだろう。ネーターの定理の明白な帰結、つまり力学の保存則について聞いた後、彼らはすでにそれを知っていたので、注意を払う必要はないと推測したのだろう。もう一つの重要な点は、内部対称性がまだ発明されていなかったということだ。（我々の視点からすると、ゲージ理論を作るために定理を内部対称性に適用する。）アイソスピンのような内部対称性は存在せず、1932年の中性子の発見後まで発明されることはなかった。
ニールス・ボーアによる有名な提案を聞いたことがあるかもしれません。それは、連続的な β 崩壊スペクトルは、微視的な現象においてはエネルギー保存則が厳密な法則ではなく統計的な現象であるという仮説によって説明できるかもしれないというものです。
彼が厳密なエネルギー保存則からの逸脱を探求したのはこれが初めてではなかった。1924年のボーア、クレイマーズ、スレーターによる論文は、放射過程において小規模では、何らかの統計的な意味でエネルギー保存則が成り立つ可能性を提起した。多くの物理学者が反対したが、誰もネーターの洞察を持ち出して「定理がある。これはできない」とか、少なくとも「大きな代償を払うことになるだろう」とは言わなかったようだ。この推測は、コンプトン散乱における最終状態の運動量の精密な測定によって1年以内に葬り去られた。
